INDUCCION MATEMATICA
 
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CUESTIONARIO
RESUELVE EL CUESTIONARIO CUANDO TERMINES EL TUTORIAL

FACULTAD DE INGENIERIA

ESTRUCTURAS DISCRETAS
DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN

Este procedimiento de demostración de fórmulas cuantificadas universalmente, verifica primero que se cumple para los casos llamados básicos, y después, suponiendo que se cumple para los casos anteriores, se verifica para un elemento típico x arbitrario. Este último paso es llamado ``inductivo''. Se concluye entonces que la fórmula vale para cualquier x.

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N.

El esquema del razonamiento es el siguiente:

Llamemos Pn la proposición al rango n.
Se demuestra que P0 es cierta (iniciación de la inducción).
Se demuestra que si se asume Pn como cierta, entonces Pn+1 lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n. (relación de inducción). En conclusión, se ha demostrado, por inducción, que Pn es cierto para todo natural n.

La inducción puede empezar por otro término que P0, digamos por Pno. Entonces Pn será válido a partir del rango no, es decir, para todo natural n ≥ no.

El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.

Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.

Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan en el contenido del presente trabajo de investigación.

Cuando emitimos una afirmación o proposición podemos intentar clasificarla en el conjunto de las proposiciones generales, en donde interviene una afirmación del tipo de “para todo elemento de ...”, o bien en el conjunto de las proposiciones particulares en donde la afirmación se refiere “al elemento tal de ...”.

De la certeza de una proposición general se puede pasar a la certeza de las correspondientes proposiciones particulares, y, al revés, de la certeza de una o varias proposiciones particulares se puede pasar a la certeza de la correspondiente proposición general o generalización.

El paso de un tipo de proposición a otra requiere un proceso de razonamiento lógico que en general se denomina deducción si se trata del paso de una proposición general a una o más proposiciones particulares, o inducción, cuando realizamos el paso de una o varias proposiciones particulares a una proposición general.

Si decimos que “todos los números enteros pares son divisibles por 2” estamos
exponiendo una proposición general, de la que es particularización, por ejemplo, la proposición “el número 246 es divisible por 2”.

El proceso por el cual, conocida la verificación de la proposición general, inferimos que se verifica la proposición particular correspondiente, es lo que entendemos por deducción o proceso deductivo.

Por otra parte, cuando desde la verificación de una o varias proposiciones particulares inferimos que se verifica una proposición general que las engloba, entendemos que estamos realizando un proceso de inducción o proceso inductivo.

LOS CONJUNTOS INDUCTIVOS

En la Axiomática de la Teoría de Conjuntos, en particular en el Sistema Axiomático de Neumann-Bernays-Godel-Quine (N-B-G-Q) se establece el Axioma de Infinitud


“Existe al menos un conjunto de clases inductivas, esto es, de clases tales que
contener un elemento implica contener a su elemento siguiente”. Tal familia es
admitida, pues, como no vacía.

Los números naturales pueden ser introducidos con un conjunto N de clase inductiva, como el mínimo conjunto inductivo. Se introduce el concepto de número ordinal y se prueba que cualquier número natural es un número ordinal.
Peano (Giuseppe Peano, Cuneo-Piamonte, 1858 – Turín, 1932) introdujo los números naturales mediante un sencillo teorema consistente en cinco afirmaciones denominadas Postulado de Peano o Axiomas de Peano para los números naturales, que permiten, pues, estructurar algébricamente el conjunto N. Así, puede definirse el conjunto N como un conjunto que verifica las siguientes condiciones axiomáticas:

1) Existe al menos un número natural, que llamaremos cero y designaremos por 0.


2) Existe una aplicación llamada aplicación siguiente que aplica
todo elemento n de N en otro elemento n* de N, llamado sucesor o
siguiente de n.

3) El cero no es sucesor de ningún otro elemento de N.

4) Dos elementos de N distintos no tienen igual sucesor, o sea, la aplicación
siguiente es inyectiva.

5) Todo subconjunto N’ de N, para el cual se verifique que contenga al
cero, y que el sucesor de cualquier elemento de N’ está en N’, coincide
con N. (Axioma de la Inducción Completa).


EL METODO DE INDUCCIÓN

La última afirmación del Teorema Peano, también llamada Axioma de la Inducción Completa permite probar resultados con los números naturales generalizando situaciones particulares.

Si, en efecto, logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un número natural n se verifica también para su sucesor, s(n), cualquiera que sea n, entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito. Si sabemos, además, que se verifica para el cero, el primero de los números naturales, que no es sucesor de ningún otro, entonces hay que concluir que la propiedad se verifica en todo N. Es decir, para probar que algo, una propiedad, se cumple en todos los números naturales, basta comprobar primero que se cumple para el 0, y, a continuación, suponer que se cumple para un natural n, y, desde aquí, deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente, n+1.

Una técnica muy sencilla consiste en definir un conjunto N’, subconjunto de N, formado por los elementos que verifican la propiedad a demostrar. Si logramos demostrar que para cualquier elemento a N’ se cumple que su sucesor, y que el cero, es decir, se cumple (en el argot del sistema N-B-G-Q) que N’ es inductivo, entonces habrá de concluirse que se verifica la propiedad en todo N, esto es, que N’ = N

El método, en definitiva, consta de dos partes o teoremas parciales:

Teorema 1, o base de la demostración: es la demostración deductiva de que la
proposición se verifica para algún número natural dado a:
Proposición->f(a) cierta

Teorema 2, o paso de inducción, que es la demostración, de carácter también
deductivo, de que si la proposición se supone cierta para un número natural n, también ha de ser cierta para el número sucesor de n, es decir, para el número n+1.

Proposición ->f(n) cierta f(n+1) cierta

De lo cual se infiere que la proposición es cierta para el número natural a y para todos los números naturales siguientes al número a, es decir es cierta para el conjunto de los números naturales [a, ∞). Evidentemente, si a es el primero de los números naturales, la proposición será cierta para todo el conjunto N.

Ambos pasos parciales son, en último término, procesos deductivos, por lo que cabría decir que, realmente, el método de inducción matemática es, en realidad, un proceso de deducción.

En realidad, el nombre que le damos de “inducción matemática” se debe simplemente a que lo asociamos en nuestra consciencia con los razonamientos inductivos basados en las experiencias de verosimilitud de las ciencias naturales y sociales, a pesar de que el paso inductivo de la demostración es una proposición general que se demuestra como un riguroso proceso deductivo, sin necesidad de ninguna hipótesis particular. Es por esto por lo que también se le denomina “inducción perfecta” o “inducción completa”.

Sea P(n) una proposición que depende de la variable n, con n perteneciente a los Naturales. Si:

- 1 satisface a P y,
- k pertenece a los Naturales, k satisface P! (k+1) satisface P,
entonces todos los números naturales satisfacen P.

Usaremos el Axioma de Inducción Matemática para demostrar la validez, en los Números Naturales, de ciertas proposiciones P que depende de una variable n, con n perteneciente a los Naturales.
Procederemos de la siguiente manera:

- Verificaremos la proposición para el numero 1.
- Supondremos que la proposición es verdadera para un numero natural cualquiera k. (Hipótesis de inducción).
- Demostraremos la proposición para el numero natural (k+1).

Así, gracias al axioma de inducción Matemática, podemos concluir que la proposición la satisfacen todos los números naturales.

EJEMPLO

Demostraremos que:
1+2+3+............+n = n(n+1), " n perteneciente a los naturales (*)
2
1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición (*)
2
Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que:
1+2+3+.........+k = k(k+1). (Hipótesis de inducción).
2
Demostremos que k - 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que:
1+2+3+.........+k+(k+1) = (k+1)(k+2).
2
Demostración:
(1+2+3+.......+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1)
2
= k(k+1)+2(k+1)
2
= (k+1)(k+2)
2
Luego la proposición (*) es verdadera "n perteneciente a los naturales.
En resumen, primero demuestras reemplazando el n por un 1, luego demuestras reemplazando el n por un k y finalmente lo demuestras reemplazando el n por (k+1)
Ejemplo
Demuestre usando Inducción Matemática que:
n
" 13 = n2 (n+1)2
i=1 4
1° Usando n = 1
1
" i3 = 12 (1+1)2
i =1 4
1
" 1 = 1(4)
i =1 4
1
" 1 = 4 = 1
i=1 4
2° Supongamos valido para n = k
k
" i3 = k2 (k+1)2
i=1 4
3° Por demostrar valido para n = k+1
k+1
" i3 = (k+1)2 (k+1)2 se reemplaza termino igual al de arriba
i=1 4
= (k+1)2 (k+2)2 esto se debe demostrar
4
k+1 k
" i3 = " i3 + (k+1)3
i =1 i =1
= k2 (k+1)2 + (k+1)3 = k2 (k+1)2 + (k+1)3 = (k+1)2 ( k2 + (k+1)
4 4 4
= (k+1)2( k2 +4(k+1) = (k+1)2 (k2 +4k+4)
• 4
= (k+1)2 (k+2)2
4
Ejemplo
Demuestre usando inducción que:
2 + 4+ 6 + 8+..........+ 2n = n(n+1)
n
• 2 i = n(n+1)
i =1
n=1
1
" 2*1 = 1(1+1)
i =1
• = 1*2
• = 2
Suponer valido para n = k
k
" 2i = k(k+1) Esto es la hipótesis
i =1
Demostrar para n = k+1
K+1
" 2i = (k+1)(k+2)
i =1
k+1 k
" 2i = " 2i + 2(k+1)
i =1 i =1
= k(k+1) + 2(k+1)
= (k+1)(k+2)




 
 
BIBLIOGRAFIA


Gelbaum, B.R. and Olmsted, J.M.H., Theorems and Counterexamples
in Mathematics, Springer-Verlag, 1990

Gödel, Kurt, Obras completas. Alianza Editorial. 1981.

Golovina, L.I. and Yaglom, I.M., Induction in Geometry, Mir
Publishers, Mexico, 1989.

Kleene, Stephen. Introducción a la metamatemática. Editorial
TECNOS. 1994.

Sominski, I. S., Método de Inducción Matemática, Editorial Mir,
Moscu, 1985

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